ÎNCĂLZIREA LINILOR DE ALIMENTARE

 

Gheorghe Oproescu – Tavi YO4BKM         

 

Subiectul a apărut din întâmplare, la o discuție cu amicul Dan YO9CWY despre liniile de alimentare și pierderile din ele. Am găsit că problema merită să fie analizată, chiar dacă (uneori) producatorii (serioși) de linii de alimentare indică puterea maximă transferată de la emițător la antenă, dar fără detalii privind condițiile de lucru. Așa că am continuat colaboarrea, primind multe sugestii și observații, TNX! Pentru că între linie și antenă apar și neadaptări care duc la apariția reflectatelor a căror putere trebuie luată în seamă cel puțin pentru faptul că, dacă s-ar produce între etajul final și linie, ele se manifestă atât de evident încât provoacă distrugeri costisitoare în emițător. Este adevărat că o linie de alimentare este mai ieftină decât un etaj final, dar deteriorarea ei nu este atât de ușor vizibilă în fazele de început care, continuând, generează o avalanșă de neplăceri, mai ales dacă apar într-un concurs într-o vară fierbinte.

Linia de alimentare se încălzește deoarece o parte din energia transportată se disipă ireversibil sub formă de căldură pe propria rezistență electrică. Pentru curenții de radiofrecvență fenomenul de încălzire este amplificat și de faptul că aceștia nu trec prin toata secțiunea conductorului ci printr-un strat aflat la suprafața lui, a cărui grosime scade cu frecvența. Curenții de radiofrecvență produc și încălzirea dielectricului (izolației) dintre conductori. Linia de alimentare se află într-un mediu cu care face schimb de căldură. La o diferență de temperatură pană la maxim câteva sute de grade Celsius schimbul de căldură se face preponderent prin conducție în interiorul liniei și prin convecție în exteriorul ei, radiația termică este neglijabilă iar linia de alimentare ajunge, în condițiile concrete de exploatare, la o temperatură determinată de echilibrul dintre căldura generată de sursă (efectul termic al curentului prin conductorii liniei și pierderile prin dielectric) și căldura schimbată cu mediul. Această temperatură se poate determina destul de precis cu prețul folosirii unui aparat matematic prea complicat și prea „stufos” ca să poată fi descris aici. Și pentru că nu am găsit un model „la cheie” (nici nu mă dau în vânt după astfel de modele după o experiență nu prea plăcută pe acest tărâm) am construit un model fizico-matematic completat cu constantele electrice și termice ale materialelor din linie, am rezolvat ecuațiile căldurii și am obținut niște rezultate pe care le voi prezenta, nu înainte de a arăta și cum am procedat.

Producătorii liniilor de alimentare indică (atunci când o fac) puterea maximă suportată de linie în cazuri normale de utilizare, când prin ea trece doar curentul de alimentare, fără să apară reflexii, adesea fără să precizeze alte detalii dintre care lungimea liniei este unul din ele.

Așadar linia de alimentare se încălzește de la două surse:

-          Rezistivitatea conductorilor și pierderile din dielectric;

-          Undele reflectate de antenă a căror energie se disipă pe linie. 

Dacă puterea specifică disipată pe linie (W/m) este constantă în cazul rezistivității și pierderilor din dielectric deoarece acestea sunt direct proporționale cu lungimea liniei, încărcarea specifică în cazul reflectatelor crește odată cu scurtarea liniei din două motive:

-          Ele depind numai de  adaptarea liniei cu antena, indiferent cât este lungimea liniei;

-          La liniile scurte puterea ajunsă la antenă este mai mare deoarece se pierde mai puțin iar reflectatele reprezintă o fracțiune din puterea care ajunge la antenă.

1. Schema de calcul și rezultatele ei la cablurile coaxiale.

Inima cablului coaxial poate fi monofilară sau multifilară. Dacă este multifilară, în jurul unui fir central se pot dispune fie 6 alte fire (inimă cu 7 fire), fie un strat cu 6 fire apoi un alt strat cu 12 fire (inimă cu 19 fire), cum este arătat în figura 1. Se poate vedea ușor că la 7 fire diametrul cercului înfășurător al inimii este de trei ori diametrul firului, la 19 fire acest diametru este de cinci ori diametrul unui fir. Dacă ar mai apare un strat acesta ar avea 18 fire (la fiecare strat se adauga 6 fire la numărul din stratul inferior), inima ar avea in total 37 de fire și un diametru circumscris cât șapte diametre de fir.

 

 

Adâncimea de pătrundere a radiofrecvenței în cupru este foarte mică, la materialele cu permeabilitate magnetică mare (fier) este chiar de sute de ori mai mică. În figura 1 b) am marcat pe fiecare fir cu roșu stratul superficial care conduce radiofrecvența, în figura 1a) inima și tresa au fost doar simbolizate. Pentru ca un conductor din cupru să conducă radiofrecvența pe toată secțiunea sa ar trebui să aibe diametrul de 0,05 mm la 2 MHz, 0,035 mm la 10 MHz, 0,025 mm la 20 MHz, 0,015 mm la 50 MHz conform [1] dar și un calcul simplu poate arăta acest lucru. Așadar firele din cablul cercetat nu vor putea conduce pe toată secțiunea lor.

Inima multifilară are câteva avantaje:

-          La secțiuni mari mai multe fire subțiri măresc flexibilitatea cablului;

-          Mai multe fire subțiri, care conduc doar printr-un strat superficial de grosime mică opun, la aceeasi sectiune cu cea a unui singur fir, o rezistență ohmică (disipativă) mai redusă deoarece sunt legate în paralel.   

Calculul rezistenței disipative datorită efectului pelicular se poate face fie cu formula (1) indicată de [1] în care f este frecvența în Hz iar P este perimetrul conductorului în cm,

 

                                         (1)

 

fie cu formula (2) indicată de [2] în care f este frecvența în MHz iar d este diametrul conductorului în cm, rezultatele sunt identice.

 

                                            (2)

 

Dacă se folosește drept inimă un fascicul de 19 fire, fiecare fir va avea o rezistență destul de mare care, pe ansamblul celor 19 fire legate în paralel, se reduce considerabil, tabelul 1 arată valorile comparate și nu necesită nicio discuție.

 

 

Pentru modelarea încălzirii am adoptat următoarele ipoteze:

-          O primă sursă termică o formează puterea disipată pe stratul superficial al firelor din conductorul central și pe ecranul (tresa) considerat un conductor tubular cu strat superficial de conducție. Evaluarea lor se poate face pe baza curenților din linie și a rezistențelor calculate cu formulele (1) sau (2).

-          A doua sursă termică o formează pierderile care apar în dielectric. Aici formulele de calcul de găsesc mai greu și nu sunt foarte exacte și am ales ca pierderile din dielectric să se calculeze scăzând din pierderile calculate cu valoarea atenuării dată de  catalog, pierderile date de rezistivitate. Dar, ca să poată fi posibil acest lucru trebuie găsită o relație de interpolare-extrapolare pe un domeniu larg de frecvențe a atenuărilor pe care cataloagele le dau doar pentru câteva frecvențe, adesea peste 50 --- 100 MHz până la cîteva mii de MHz.   

-          A treia sursă termică o formează puterea undelor reflectate, ușor de calculat cunoscând SWR între linie și antenă.

 

                                       (3)

 

în care  se calculează pe baza puterii de la emițător și atenuarii pe linia de alimentare până la antenă.

-          Datorită conductibilității termice ridicate a cuprului, dimensiunilor mici ale firelor și contactului intim între ele, închise într-un volum foarte mic, am considerat sursa diseminată în toată secțiunea conductorului central și a ecranului (tresei), dar numai pentru calculul termic.

-          Mediul înconjurător realizează o convecție liberă la temperatura aerului și poate fi setat ca aer calm, vânt moderat sau vânt puternic.

Am început modelarea cablului H155 (pe care îl folosesc în prezent), puterea transmisă de 100 W, situat în aer calm la 20 ⁰Celsius. La acest cablu am găsit [5] (tnx YO9CWY)  ca date de catalog atenuarile (dB/100m) pentru 12 frecvente de la 10 MHz la 2050 MHz. Cu acestea am căutat o formulă pentru interpolarea-extrapolarea datelor de catalog alegând o dependență politropică funcție de frecvență (4), de care mă convinsesem în mai multe rânduri că răspunde destul de bine la modelarea funcțiilor cu alura necunoscută și care să fie folosită pe domeniul care ne interesează pe noi (1,8 MHz---1296 MHz)

 

                       (4)

 

și în care coeficienții se determină prin metode folosite [3], după care am pus la punct softul pentru modelarea câmpului termic din cablu, atât în regim dinamic cât și stabilizat, de fapt reluând o experiență de acum cca 20 de ani când modelam regimurile termice în conductele care trebuiau să transporte lichide în medii cu temperaturi scăzute până la -25 grade Celsius. Am avut impresia că totul merge bine pentrtu H155, formula (4) verifica foarte bine datele din catalog dar, când am trecut la cercetarea cablului RG6 am costatat că ceva nu se potrivește. Deși valorile date de formulă coincideau și la RG6 destul de bine în punctele date în catalog, când am scăzut din aceste valori pe cele calculate ca disipare rezistivă ca să pot afla și disiparea în dielectric, puterea disipată pe dielectric rezulta negativă, deci în loc de încălzire produceau răcire.

A fost nevoie sa reiau de la capăt modelul pierderilor și am constatat că chiar o eroare acceptabilă, de 5%-8% la interpolarea-extrapolarea datelor de catalog, era prea mare, mai ales la frecvențe reduse unde pierderile din dielectric sunt destul de mici. Problema apărea deoarece cele două componente ale atenuării pe ansamblul cablului depind în mod diferit de frecvență iar frecvența cuprinde un domeniu de valori foarte larg, într-un raport de câteva mii, de la 1,8 MHz la 5 GHz. Pe de altă parte atenuările din cupru calculate pe baza rezistenței stratului superficial, cum am arătat mai sus, rezultau prea mari deoarece la un fascicul de fire, datorită contactului intim între ele, stratul de conducție nu mai înconjoară fiecare fir ci se dispune numai pe arcele exterioare între punctele în care firele fac contact între ele, deoarece numai acestea formează „suprafața” fasciculului, figura 1 c). Diametrul unui fascicul cu 19 fire este de 5 ori mai mare decât al unui singur fir, perimetrul este cu mult mai mare din cauza ondulațiilor (figura 1c) iar rezistența sa electrică conform (1) sau (2) va scădea de cel puțin 5 ori. Chiar și un fascicul de 7 fire are perimetrul de cel puțin 3 ori mai mare decât al unui fir, deci o rezistență de cel puțin 3 ori mai redusă. Mai apare și faptul că la RG6 tresa este din doua straturi, așa cum este la multe alte cabluri, deci se depărtează de ipoteza unui conductor tubular pur. Astfel am ales să evit calculul puterii disipate în cupru datorită acestor aspecte greu de prins într-o relație exactă și, deși perimetrul unui fascicul de fire (figura 1 c) nu este greu de calculat, am încercat abordarea problemei căutând mai întâi o relație pentru disiparea pe dielectric. Cu puțin noroc (pe care se zice că și-l face și omul cu mâna lui) am găsit în [1] și în [4] că atenuarea din dielectric se poate exprima cu formula (5), corectată pentru unitățile de măsură uzuale azi:

 

                                              (5)

 

unde f este frecvența în Hz, c este viteza undei în dielectric în m/s, d este unghiul de pierderi. Dacă formula (5) este foarte simplă, nu este la fel de simplu de aflat cât este tg(d), cele mai „exacte” valori pentru polietilenă (PE) le dă tot [4], tg(d)=0,0004---0,0009. Combinând și cu alte surse am ales tg(d)=0,0007. Deoarece atenuarea din dielectric se află acum mai ușor, atenuarea din cupru va rezulta prin diferență față de valorile calculate, mai ales din cauza indentificării imprecise a stratului superficial deoarece nu se știe sigur cum se face contactul dintre fire.. Iar formula de interpolare-extrapolare a valorilor din catalog va fi mai simplă,

 

                                                                            (6)

 

unde f este în Hz iar a₁ și a₂ rezultă prin minimizarea abaterii medii pătratice dintre valorile calculate și cele din catalog printr-un algoritm Gauss [3] programat de mine în mediul Lazarus. Pentru cablul H155 rezultatele sunt arătate în figura2

 

 

Precizez că în figura 2 scara frecvențelor este logaritmică deoarece ecartul mare (de peste 200 de ori) ar fi „înghesuit” frecvențele mici. În formula (6) frecvența este în unitățile sale naturale, am folosit logaritmarea numai pentru reprezentarea grafică. Din acest motiv atenuarea din dielectric, care ar fi trebuit să fie liniară, apare sub forma unei linii curbe.

Pentru alte cabluri coeficienții formulei (6) sunt dați în tabelul 2. Deoarece cablurile au izolația din PE al doilea termen din formulă este același la toate. Dar calculul termic, care se prezintă în continuare, ține cont de dimensiunile cablului (diametre, lungimi), inclusiv pentru dielectric.

 

Pentru calculul termic am folosit ecuațiile căldurii ale lui Fourier ( [3], același cu seria și transformata care-i poartă numele) în care sunt cunoscute puterea dispiată pe componentele cablului (cupru și dielectric în W/m.c), dimensiunile componentelor și constantele fizice ale acestora precum conductibilitatea termică în W/(mK), căldura specifică în J/(kgK), densitatea în kg/m.c și coeficientul de convecție în W/(m.p.K), programate în același mediu, Lazarus, în care lucrez astfel de probleme. În figura 3 arăt pagina ecran a aplicației la un anumit moment.

 

 

Secțiunea cablului a fost împărțită în elemente finite cu valoarea de 0,05 mm pentru care, pentru a obține stabilitatea soluției în regim dinamic, a trebuit să aleg incrementul de timp la valori mai mici de 0,0000004 secunde, dacă aș fi mărit valoarea acestuia rezolvarea devenea instabilă după câteva iterări. Asta înseamnă că pentru fiecare element finit sunt necesare 1/ 0,0000004=2500000 calcule pentru a afla ce se întâmplă după o secundă de funcționare, pentru toate elementele finite sunt necesare sute de milioane de calcule doar pentru o secundă de emisie. Pentru un regim dinamic de câteva zeci de secunde se fac miliarde de calcule, pe calculatorul meu acestea dureaza maxim 10---20 de secunde până la stabilizarea regimului termic. Micșorarea elementului finit ar fi dus la o scădere și mai drastică a incrementului de timp și lungirea exagerată a calculului.

Pentru că pagina ecran apare prea mică în pagina articolului și cu detalii greu lizibile, voi arăta în continuare doar detalii din ea, figura 4 arată cu ce valori am setat calculul termic.

 

 

În figura 5, care arată partea dreaptă a ecranului, se vede regimul termic după 0,01 secunde de emisie. Dielectricul este mai cald decât mediul înconjurător (cu câteva miimi de grade Celsius) datorită disipării mai dificile a căldurii atât produse în el cât și primită de la inima cablului, tresa se răcește mai ușor prin mantaua exterioară.

Stabilizarea termică apare la momentul t=3,25 secunde de emisie și se vede în figura 6. O încălzire nesemnificativă și un camp termic aproape constant pe secțiune. O supraîncălzire de 0,33 grade Celsius pentru o putere de cca 12,5 W disipată pe cablul lung de 20 m, revenind așadar cca 6 mW/cm lungime.

 

 

 

Procedând la fel și pentru alte cazuri, rezultatele se prezintă în tabelul 3. Am considerat că antena are impedanța de alimentare de 50 W la cazul 1 și 300 W la celelalte. La cazul 3 cablul nu rezistă din „vina” reflectatelor.

La valorile din tabelul 3 trebuie adăugată și diferența dintre temperatura mediului și cele 20 grade Celsius la care au fost deduse datele din tabel. De exemplu vara, în soare, cablul poate să se încălzească de la mediu la temperaturi de 40 --- 60^o Celsius, cazurile 4 și 5 putând duce la deterioarea sa.

 

 

2. Concluzii.

Modelul dezvoltat nu a fost comparat cu niciun experiment, din acest motiv sunt convins că valorile calculate nu sunt dintre cele mai corecte, în mod obișnuit orice modelare numerică (instrumentație virtuală) se bazează pe cel puțin un caz cercetat experimental iar diferențele dintre rezultatele teoretice și experimentale servesc la ce se numește „acordarea modelului”. Sunt convins însă că discuțiile pe această temă vor fi folositoare. Cu toate acestea, se pot desprinde câteva concluzii:

-          Cablul coaxial se încălzește proporțional cu frecvența la care lucrează, considerând ca sursă termică pierderile prin rezistența mediilor conductoare și prin dielectric;

-          Pierderile prin rezistivitatea conductorilor depind direct proporțional cu rădăcina pătrată a frecvenței de lucru, pe când pierderile în dielectric depind direct proporțional cu frecvența. Asta face ca la frecvențe joase să domine pierderile prin rezistivitate iar la frecvențe înalte să domine pierderile în dielectric.

-          Fără unde reflectate încălzirea cablului nu depinde de lungimea sa deoarece puterea care se transform în căldură este, la aceeași frecvență, proporțională cu lungimea, așa cum este și răcirea cablului, raportul dintre căldura cedată și disipirea ei în mediu rămâne constant. Dacă apar unde reflectate încălzirea crește invers proporțional cu lungimea cablului;

-          Cablurile scurte sau / și cu pierderi mici dar neadaptate cu antena se încălzesc mult mai mult deoarece puterea undelor reflectate de antenă este mai mare (se pierde mai putin pe cablu) și se concentrează într-un volum mai mic al cablului.

 

3.      O metodă simplificată de evaluare a încălzirii

În cazul neadaptării liniei la antenă exista o cale mai rapidă (dar mai puțin precisă) de a afla dacă linia de alimentare poate suporta anumite încărcări energetice. Din tabelul 3 se vede că disiparea rezistivă nu este atât de periculoasă ca în cazul neadaptării cu antena.

O verificare simplă, cu datele din tabelul 3 pentru cazul 3 (cea mai mare incălzire), poate arăta astfel: alegem un rezistor de putere care are diametrul cât mai apropiat de al cablului coaxial și, să zicem, că acesta are o lungime de 2,3 cm. Calculăm cât din cei 528 W/(4m) disipați pe cablu revin pe 2,3 cm, rezultă 528/400 x 2,3=3,036 W/(2,3cm). Pentru că rezistorul nu conține polietilenă și poate suporta temperaturi mai  mari, consider că se poate avea încredere în metoda simplificată dacă rezistorul ales pentru comparație disipă o putere de 2-3 ori mai mare. Dacă rezistorul disipă o putere de 6---9 W putem aprecia că și cablul va suporta puterea undelor reflectate.

 

Bibliografie.

[1] B.A. Smirenin, Manual de radiotehnică, vol 1, Traducere din limba rusă, Editura Energetică de Stat, 1953.

[2] Karl Rothammel DM2ABK, Antennenbuch, Detscher Militärverlag, 1968.

[3] Oprescu Gheorghe, Metode numerice și aplicații, EDITURA TEHNICA–INFO CHISINAU 2005.

[4] Sophocles J. Orfanidis, Electromagnetic Waves and Antennas. www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/ewa

[5] ***  https://www.scribd.com/document/411646317/PDF-RG-coaxial-Cables-Helukabel